Um einen Unschuldigen nicht zu leicht zu verurteilen

Um einen Unschuldigen nicht zu leicht zu verurteilen, wird die Hypothese der Unschuld erst dann verworfen, wenn ein Irrtum
sehr unwahrscheinlich ist. Man spricht auch davon, die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler erster Art (also das Verurteilen eines
Unschuldigen) zu kontrollieren. Naturgemäß wird durch dieses unsymmetrische Vorgehen die Wahrscheinlichkeit für einen
Fehler zweiter Art (also das Freisprechen eines Schuldigen) „groß”. Aufgrund der stochastischen Struktur des Testproblems
lassen sich wie in einem Gerichtsverfahren Fehlentscheidungen grundsätzlich nicht vermeiden. Man versucht in der Statistik
allerdings optimale Tests zu konstruieren, die die Fehlerwahrscheinlichkeiten minimieren.
Es soll versucht werden, einen Test auf hellseherische Fähigkeiten zu entwickeln.
Einer Testperson wird 25-mal die Rückseite einer rein zufällig gewählten Spielkarte gezeigt und sie wird jeweils danach gefragt,
zu welcher der vier Farben (Kreuz, Pik, Herz, Karo) die Karte gehört. Die Anzahl der Treffer nennen wir .
Da die hellseherischen Fähigkeiten der Person getestet werden sollen, gehen wir vorläufig von der Nullhypothese aus, die
Testperson sei nicht hellsehend. Die Alternativhypothese lautet entsprechend: Die Testperson ist hellseherisch begabt.
Was bedeutet das für unseren Test? Wenn die Nullhypothese richtig ist, wird die Testperson nur versuchen können, die jeweilige
Farbe zu erraten. Für jede Karte gibt es bei vier Farben eine Wahrscheinlichkeit von 1/4, die richtige Farbe zu erraten. Wenn die
Alternativhypothese richtig ist, hat die Person für jede Karte eine größere Wahrscheinlichkeit als 1/4. Wir nennen die
Wahrscheinlichkeit einer richtigen Vorhersage .
Die Hypothesen lauten dann:1
und
.
Wenn die Testperson alle 25 Karten richtig benennt, werden wir sie als Hellseher betrachten und natürlich die Nullhypothese
ablehnen. Und mit 24 oder 23 Treffern auch. Andererseits gibt es bei nur 5 oder 6 Treffern keinen Grund dazu. Aber was wäre
mit 12 Treffern? Was ist mit 17 Treffern? Wo liegt die kritische Anzahl an Treffern , von der an wir nicht mehr glauben können,
es seien reine Zufallstreffer?
Wie bestimmen wir also den kritischen Wert ? Mit (also dass wir nur hellseherische Fähigkeiten erkennen wollen, wenn